A diagrammatic approach to Kronecker squares ( Extended abstract )

In this paper we improve a method of Robinson and Taulbee for computing Kronecker coefficients and show that for any partition ν of d there is a polynomial kν with rational coefficients in variables xC , where C runs over the set of isomorphism classes of connected skew diagrams of size at most d, such that for all partitions λ of n, the Kronecker coefficient g(λ, λ, (n − d, ν)) is obtained from kν(xC) substituting each xC by the number of λ-removable diagrams in C. We present two applications. First we show that for ρk = (k, k − 1, . . . , 2, 1) and any partition ν of size d there is a piecewise polynomial function sν such that g(ρk, ρk, (|ρk| − d, ν)) = sν(k) for all k and that there is an interval of the form [c,∞) in which sν is polynomial of degree d with leading coefficient the number of standard Young tableaux of shape ν. The second application is new stability property for Kronecker coefficients. Résumé. Dans ce papier nous améliorons une méthode de Robinson-Taulbee pour calculer les coefficients de Kronecker et montrons que pour toute partition ν de d il y a un polynôme kν avec coefficients rationels dans les variables xC , ou C est dans l’ensemble de classes d’isomorphisme des diagrammes gauches connexes de taille non plus que d, tel que pour toute partition λ de n, le coefficient de Kronecker g(λ, λ, (n−d, ν)) est obtenu de kν(xC) en substituant chaque xC pour le nombre de diagrammes λ-removables en C. Nous presentons deux applications. Premièrement nous montrons que pour ρk = (k, k − 1, . . . , 2, 1) et une partition ν de taille d il y a une fonction polynôme par morceaux sν tel que pour toute k on a g(ρk, ρk, (|ρk| − d, ν)) = sν(k), et que il y a une interval de la forme [c,∞) dans lequelle sν est polynôme de degré d avec coefficient principal le nombre de tableaux de Young standard de forme ν. La seconde application est une nouveau proprieté d’estabilité des coefficients de Kronecker.